Ортоцентр и центр вписанной окружности треугольника

Если точка H-ортоцентр трегуольника ABC, а точка O-центр его описанной окружности, то:

OH=OA+OB+OC


Доказательство

1) Опустим из точки O перпендикуляр OK на сторону AC треугольника ABC. В курсе геометрии 8 класс было доказано, что BH=2OK.
2) На луче OK отметим точку P такую, что OK=KP. Тогда BH=OP. Так как BHOP, то четырехугольник HBOP-параллелограмм.
3) По правилу параллеограмма OH=OB+OP.
4) Поскольку точка K является серединой отрезка AC, то в четырехугольнике AOCP диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, этот четырехугольник-параллелограмм. Отсюда OP=OA+OC.
5) Имеем: OH=OB+OP=OB+OA+OC.
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 9 класс; Глава 4; с.135