Признак равнобедренного треугольника по высоте

Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.


Доказательство

Рассмотрим треугольник ABC, у которого ∠A=∠C. Надо доказать, что AB=AC.
Проведем серединный перпендикуляр α стороны BC. Докажем, что прямая α проходит через вершину A.
Предположим, что это не так. Тогда прямая α пересекает во внутренней точке сторону AB или сторону BC.
Рассмотрим первый из этих случаев. Пусть точка K-точка пересечения прямой α со стороной AB. Тогда по свойству серединного перпендикуляра BK=CK. Следовательно, треугольник BKC-равнобедренный, а значит, ∠B=∠BCK. Но по условию ∠B=∠BAC. Тогда имеем: ∠BAC=∠BCK, что противоречит основному свойству величины угла.
Аналогично получаем противоречие и для второго случая. Следовательно, наше предположение неверно. Прямая α проходит через точку A, и по свойству серединного перпендикуляра AB=AC.
Теорема доказана


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 7 класс; Глава 2; §10; теор. 10.3; с.68
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 7 класс; Глава 2; §5; п.12; с.34
Шарыгин И.Ф. "Геометрия 7-9 класс"; ©Дрофа Глава 3; п.3.2; с.81
Погорелов А.В. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение §3; п.24; с.33