Площадь четырехугольника

Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между содержащими их прямыми


Доказательство

Докажем теорему для выпуклого четрыехугольника ABCD (для невыпуклого рассмотрите самостоятельно).
1) Пусть O-точка перечесения диагоналей четырехугольника, AOB=α.
2) Четырехугольник ABCD составлен из треугольников OAB, OBC, OCD и ODA, поэтому его площадь S равна сумме площадей этих треугольников.
3) Учитывая, что sin (180°-α)=sin α, получаем:

S=12(OA·OB+OB·OC+OC·OD+OD·OA)·sin α=
=12(OB(OA+OC)+OD(OC+OA))·sin A=
=12(OA+OC)·(OB+OD)·sin α=12AC·BD·sin α.

Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 9 класс; Глава 8; §22; п.107; с.72