Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.


Доказательство

Пусть стороны треугольников ABC и A1B1C1, пропорциональны:

ABA1B1=BCB1C1=CAC1A1

Докажем, что ABCA1B1C1 . Для этого, учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что A=A1.
1) Рассмотрим треугольник ABC2, у которого α=A1, β=B1. Треугольники ABC2 и A1B1C1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому:

ABA1B1=BС2B1C1=С2AC1A1

2) Сравнивая эти равенства с первым получаем: BC=BC2, CA=C2A. Отсюда треугольники ABC и ABC2 равны по трем сторонам. Отсюда следует, что A=1, а так как 1=A1, то A=A1.
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Атанасян Л.С. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение Глава 7; §2; п.63; с.143
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 8 класс; Глава 2; §14; теор. 14.2; с.101
Шарыгин И.Ф. "Геометрия 7-9 класс"; ©Дрофа Глава 6; п.6.3; с.214
Погорелов А.В. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение §11; п.105; с.159
Козлова С.А. "Геометрия 7-9 класс"; ©Баласс §14.3; теор.65; с.228