Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.


Доказательство

Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C2, у которых AB=A1B1, BC=B1C2, CA=C2A1. Докажем, что △ABC=△A1B1C2.
1)Приложим треугольник ABC к треугольнику A1B1C2 так, чтобы вершина A совместилась вершиной A1, вершина B- с вершиной B1, а вершины C и C2 оказались по разные стороны A1B1.
2)Возможны три случая: луч C2C проходит внутри угла A1C2B1; луч C2C совпадает с одной из сторон этого угла; луч C2C проходит вне угла.
3)Так как по условию теоремы стороны AC и A1C2, BC и B1C2 равны, то треугольники A1C2C и B1C2C-равнобедренные. По теореме о свойстве углов треугольника ∠A1CC2=∠CC2A1, ∠C2CB1=∠CC2B1, поэтому ∠A1CB1=∠A1C2B1. Итак, AC=A1C2, BC=B1C2, ∠C=∠C2.
4)Из п.3, треугольники ABC и A1B1C2 равны по первому признаку равенства треугольников.
Доказательство остальных двух случаев аналогично первому, при необходимости вы можете провести его самостоятельно.
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Атанасян Л.С. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение Глава 2; §3; п.20; с.38
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 7 класс; Глава 2; §11; теор. 11.1; с.72
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 7 класс; Глава 2; §6; п.17; с.43
Шарыгин И.Ф. "Геометрия 7-9 класс"; ©Дрофа Глава 3; п.3.2; с.78
Погорелов А.В. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение §3; п.27; с.35
Козлова С.А. "Геометрия 7-9 класс"; ©Баласс §5.3; теор.4; с.62