Теорема Стюарта

Если точка D лежит на стороне BC треугольника ABC, то

AD2=AC2·BDBC+AB2·CDBC-BD·CD


Доказательство

1) Применим теорему косинусов к треугольникам ACD и ABD:

AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos ADC,
AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos ADB

2) Умножим первое равенство на BD, а второе на CD и сложив, получим:

AC2·BD+AB2·CD=AD2·BD+DC2·BD-
-2AD·DC·BD·cos ADC+AD2·CD+DB2·CD-
-2AD·BD·CD·cos ADB

3) Так как BD+DC=BC,то

AD2·BD+AD2·CD=AD2·BC
DC2·BD+DB2·CD=DC·BD·BC

4) Далее, углы ADC и ADB смежные, поэтому ∠ADC=180°-∠ADB, и, следовательно,

cos ADC=cos (180°-ADB)=-cos ADB

5) Таким образом, получаем:

AC2·BD+AB2·CD=AD2·BC+DC·BD·BC

6) Сократив это равенство на BC, получим доказываемое выражение.
Теорема доказана.