Квадрат высоты прямоугольного треугольника

Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенный у гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.


Доказательство

На рисунке отрезок CH-высота прямоугольного треугольника ABC(ACB=90°). Докажем, что:

CH2=AH·HB, AC2=AB·AH,
BC2=AB·HB

Так как CBHACH, то CHAH=BHCH.
Отсюда CH2=AH·HB.
Так как ABCACH, то ACAH=ABAC.
Отсюда AC2=AB·AH.
Так как ABCCBH, то BCBH=ABBC.
Отсюда BC2=AB·HB.
Теорема доказана.


Здесь также стоит отметить, что отрезок BC является средним геометрическим отрезков AB и BH: B C = A B · B H


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 8 класс; Глава 3; §15; теор. 15.1; с.111