Квадрат диагоналей параллелограмма

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.


Доказательство

На рисунке изображен параллелограмма ABCD. Пусть AB=CD=a, BC=AD=b, ∠BAD=α. Тогда ∠ADC=180°-α.
По теореме косинусов для треугольника ACD:

BD2=a2+b2-2ab·cos α

По теореме косинусов для треугольника ACD:

AC2=a2+b2-2ab·cos (180°-α).
AC2=a2+b2+2ab·cos α.

Сложив эти равенства получим:

BD2+AC2=2a2+2b2.

Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Мерзляк А.Г., Поляков В.М. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 9 класс; Глава 1; §2; теор.2.3; с.14