Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов.


Доказательство

Пусть в треугольнике ABC AB=c, BC=a, AC=b. Докажем, что

asinA=bsinB=csinC

По теореме о площади треугольника:

S=12ab·sinC, S=12bc·sinA, S=12ca·sinB.

Из первых двух равенств получаем: 12ab·sinC=12bc·sinA, откуда asin A=csin C. Точно также из второго и третьего равенств следует asin A=bsin B.
Итак asin A=bsin B=csin C.
Теорема доказана.


Пусть в треугольнике ABC известно, что AB=c, BC=a, CA=b. Докажем наше утверждение.

asin A=bsin B=csin C=2R

Пусть радиус описанной окружности треугольника ABC равен R. Тогда по лемме: a=2R·sin A, b=2R·sin B, c=2R·sin C. Отсюда:

asin A=bsin B=csin C=2R

Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Атанасян Л.С. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение Глава 11; §2; п.101; с.252
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 9 класс; Глава 1; §3; теор.3.1; с.20
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 8 класс; Глава 6; §17; п.73; с.97
Шарыгин И.Ф. "Геометрия 7-9 класс"; ©Дрофа Глава 7; п.7.2; теор. 7.5; с.244
Погорелов А.В. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение §12; п.111; с.173
Козлова С.А. "Геометрия 7-9 класс"; ©Баласс §17.3; теор.73;с.254