Лемма о подобных треугольниках

Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.


Доказательство

На рисунке изображен треугольник ABC, отрезок A1C1 параллелен стороне AC. Докажем, что ABCA1BC1.
1) Углы A и A1, C и C1 равны, как соответственные при параллельных прямых A1C1 и AC и секущих AB и CB соответственно. Следовательно, углы рассматриваемых треугольников соответственно равны.
2) Покажем, что стороны BA и BC пропорциональны соответственно сторонам BA1 и BC1.
Из теоремы о пропорциональных отрезках следует, что BABC=BA1BC1. Отсюда BABA1=BCBC1.
3) Проведем C1C2AB. Получаем BCBC1=ACAC2. По определению четырехугольника AA1C1C2-параллелограмм. Тогда AC2=A1C1. Отсюда BCBC1=ACA1C1. Таким образом, доказано, что BABA1=BCBC1=ACAC1.
4) Следовательно, у треугольников ABC и A1BC1 углы соответственно равны и соответственные стороны пропорциональны. Поэтому по определению эти треугольники подобны.
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 8 класс; Глава 2; с.85
Шарыгин И.Ф. "Геометрия 7-9 класс"; ©Дрофа Глава 6; п.6.3; теор. 6.8; с.213