Признаки ромба


Признаки

Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллеллограмм-ромб.

Пусть диагонали AC и BD параллелограмма ABCD взаимно перепендиккулярны. Докажем, что ABCD-ромб.
Так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то AO=OC и BO=OD. Следовательно, прямоугольные треугольники OBA, OBC, ODC и ODA равны по двум катетам, поэтому AB=BC=CD=DA, т.е. параллелограмм ABCD-ромб, что и требовалось доказать.


Если диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то этот параллеллограмм-ромб.

Пусть диагональ BD параллелограмма делит угол B пополам. ∠ABD=∠CBD. Докажем, что параллелограмм ABCD-ромб.
Углы ABD и CDB равны, как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей BD. Следовательно ∠CDB=∠CBD, поэтому треугольник CBD равнобедренный: BC=CD. Кроме того, AB=CD и BC=DA (как противоположные стороны параллелограмма). Таким образом, AB=BC=CD=DA, т.е. парллелограмм ABCD-ромб, что и требовалось доказать.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 8 класс; Глава 1; §5; с.33-34
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 8 класс; Глава 5; §14; п.56; с.51
Шарыгин И.Ф. "Геометрия 7-9 класс"; ©Дрофа Глава 6; п.6.1; теор.6.3; с.191
Погорелов А.В. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение §6; п.55; с.77

иромба