Признаки параллелограмма


I.Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник-параллелограмм.

Пусть в четырехугольнике ABCDстороны AB и CD параллельны и AB=CD.
1) Проведем диагональ AC, разделяющую данный четырехугольник на два треугольника: ABC и CDA. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними(AC-общая сторона, AB=CD по условию, α=β как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AC), поэтому γ=δ. Но углы γ и δ накрест лежащие при прямых AD и BC секущей AC,следовательно, ADBC.
2) Таким образом, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, а значит, четырехугольник ABCD-параллелограмм.


II.Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник-параллелограмм.

1) Проведем диагональ AC данного четырехугольника ABCD, разделяющую его на треугольники ABC и CDA. Эти треугольники равны по трем сторонам, поэтому α=β. Отсюда следует, что ABCD.
2) Так как AB=CD и ABCD, то по первому признаку ABCD-параллелограмм.


III.Если в параллелограмме диагонали пересекаются и точкой пересексения делятся пополам, то этот четырехугольник-параллелограмм.

1) Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором диагонали пересекаются в точке O и этой точкой делятся пополам. Треугольники AOB и COD равны по первому признаку равенства треугольников, поэтому AB=CD и α=β. Из равенства углов α и β следует, что ABCD.
2) Итак в четырехугольник ABCD стороны AB и CD равны и параллельны, значит, по первому признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD является параллелограммом.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Атанасян Л.С. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение Глава 5; §2; п.44; с.101
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 8 класс; Глава 1; §3; с.21-22
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 8 класс; Глава 5; §14; п.53; с.46-47
Шарыгин И.Ф. "Геометрия 7-9 класс"; ©Дрофа Глава 6; п.6.1; теор.6.1; с.188
Погорелов А.В. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение §6; п.51; с.73
Козлова С.А. "Геометрия 7-9 класс"; ©Баласс §6; п.51; с.73