Сторона правильного многоугольника


Доказательство

Точку, которая является центром описанной и вписанной окружности правильного треугольника, называют центром правильного многоугольника.
На рисунке изображен фрагмент правильного n-угольника с центром O и стороной AB, длину которой обозначим an. Угол AOB называют центральным углом правильного многоугольника. Понятно, что AOB=360°n.
1) В равнобедренном треугольнике AOB проведем высоту OM. Тогда AOM=BOM=180°n, AM=MB=an2.
2) В треугольнике OMB получаем: OB=MBsin 180°n=an2sin 180°n и OM=MBtan 180°n=an2tan 180°n.
3) Отрезки OB и OM-радиусы описанной и вписанной окружностей правильного n-угольника. Если из длины обозначить Rn и rn соответственно, то полученные результаты можно записать в виде формул:

Rn=an2sin 180°n


rn=an2tan 180°n

4) Подставив в эти формулы вместо n числа 3, 4, 6, получим формулы для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей, а также сторон правильного треугольника, четырехугольника и шестиугольника.

Количество сторон правильного n-угольника n=3 n=4 n=6
Радиус описанной окружности R3=a333 R4=a422 R6=a6
Радиус вписанной окружности r3=a336 r4=a42 r6=a632
Сторона n-угольника a3=R3 a4=R2 a6=R

Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Атанасян Л.С. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение Глава 12; §1; п.112; с.273
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 9 класс; Глава 2; §6; следствие к теор.6.2; с.50
Козлова С.А. "Геометрия 7-9 класс"; ©Баласс §19.3; теор.83; с.279