Скалярное произведение в координатах

Скалярное произведение векторов можно вычислить по формуле

a·b=a1b1+a2b2


Доказательство

Сначала рассмотрим случай, когда векторы a и b неколлинеарны.
Отложим от начала координат векторы OA и OB, соответственно равные векторам a и b. Тогда (a, b)=AOB.
Применим теорему косинусов к треугольнику AOB:

AB2=OA2+OB2-2·OA·OB·cos AOB

Отсюда OA·OB·cos AOB=12(OA2+OB2-AB2).
Поскольку a=OA и b=OB, то OA·OB·cos AOB=a·b.
Кроме того, AB=OB-OA=b-a. Отсюда AB(b1-a1; b2-a2).
Имеем: a·b=12(a2+b2-AB2). Воспользовавшись формулой нахождения модуля вектора по его координатам, запишем:

a·b=12(a12+a22)+(b12+b22)-(b1-a1)2-(b2-a2)2

Упрощая выражение, записанное в правой части последнего равенства, получаем:

a·b=a1b1+a2b2

Рассмотрим случай, когда векторы a и b коллинеарны.
Если a=0 и b=0, то очевидно, что a·b=a1b1+a2b2. Еслиa0 и b0, то существует такое число k,что b=ka, т.е. b1=ka1, b2=ka2.
Если k>0, то (a, b)=0°.
Имеем:

a·b=a·(ka)=a·ka·cos 0°=k·a2=k·(a12+a22)=
=a1·ka1+a1·ka2=a1b1+a2b2.

Случай, когда k<0, рассмотрите самостоятельно.
Теорема доказана.



Скалярное произведение перпендикулярных векторов

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда, и и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Пусть ab. Докажем, что a·b=0.
Имеем: (a, b)=90°. Отсюда a·b·cos (a, b)=0.


Пусть теперь a·b=0. Докажем, что ab.
Запишем a·b·cos (a, b)=0. Поскольку a0 и b0, то cos (a, b)=0. Отсюда (a, b)=90°, т.е. ab.
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Атанасян Л.С. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение Глава 11; §3; п.107; с.261
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 9 класс; Глава 4; §16; теор. 16.2; с.137
Шарыгин И.Ф. "Геометрия 7-9 класс"; ©Дрофа Глава 12; п.12.4; с.12.3; с.414