Углы с соответственно перпендикулярными сторонами

Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180°.


Доказательство

Пусть ∠AOB и ∠A1O1B1-данные углы, OA⟂O1, OB⟂O1B1A1.
Если угол AOB развернутый или прямой, то и угол A1O1B1 развернутый или прямой, поэтому эти углы равны. Пусть ∠AOB<180°, O∉O1A1, O∉O1B1.
Возможны два случая:
1) ∠AOB<90°. Проведем луч OC так, чтобы прямые OA и OC были взаимно перпендикулярными, а точки B и C лежали по разные стороны от прямой OA. Далее, проведем луч OD так, чтобы прямые OB и OD были взаимно перпендикулярными, а точки C и D лежали по одну сторону от прямой OA. Поскольку AOB=90°-AOD и COD=90°-AOD, то AOB=COD. Стороны угла COD соответственно параллельны сторонам угла A1O1B1, поэтому либо ∠COD=∠A1O1B1, либо COD+A1O1B1=180°. Следовательно, либо AOB=A1O1B1, либо AOB+A1O1B1=180°.

2) AOB>90°. Проведем луч OC, так чтобы угол AOC был смежным с углом AOB. Угол AOC острый, и его стороны соответственно перпендикулярны сторонам угла A1O1B1. Следовательно, либо AOC+A1O1B1=180, либо AOC=A1O1B1. В первом случае AOB=A1O1B1, во втором случае AOB=A1O1B1=180°.
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Атанасян Л.С. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение Глава 3; §2; п.30; с.64
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 8 класс; Глава 4; §11; п.44; с.19