Углы с соответственно параллельными сторонами

Два угла с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо составляют в сумме 180°.


Доказательство

Рассмотрим углы AOB и A1B1C1 с соответственно параллельными сторонами: OA∥O1A1,OB∥O1B1. Докажем, что эти углы либо равны, либо составляют в сумме 180°.
I) Если угол AOB-развернутый, т.е. лучи OA и OB лежат на одной прямой, то угол A1O1B1 также развернутый, поэтому:

∠AOB=∠A1O1B1

II) Пусть угол AOB неразвёрнутый. Так как прямая OB пересекает прямую OA(в точке O), то она пересекает и прямую O1A1, параллельную прямую OA, в некоторой точке C. При этих пересечениях образовалась по четыре неразвернутых углах с вершинами O и C, причём любой из четырёх углов с вершиной O и любой из четырех углов с вершиной C либо равны, либо составляют в сумме 180°.
2) Аналогично в силу параллельности прямых OB и O1B1 любой из четырех углов с вершиной C и любой из четырех неразвернутых углов с вершиной O1 либо равны, либо составляют в сумме 180°.
III) Отсюда следует, что любые два неразвернутых углах с вершинами O и O1, в частности углы AOB и A1O1B1 либо равны, либо составляют в сумме 180°.
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Атанасян Л.С. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение Глава 3; §2; п.30; с.63
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 8 класс; Глава 4; §11; п.44; с.18