Отношение сторон и углов треугольника

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.


Доказательство

I) Пусть в треугольнике ABC сторона AB больше стороны AC. Докажем, что ∠C>∠B.
1) Отложим на стороне AB отрезок AD, равный стороне AC. Так как AD<AB, то точка D лежит между точками A и B. Следовательно, угол α является частью угла C, и, значит, ∠C>∠α.
2) Угол β-внешний угол треугольника BDC, поэтому ∠β>∠B. Углы α и β равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠C>∠α, ∠α=∠β, ∠β>∠B. Отсюда следует, что ∠C>∠B.

II)Пусть в треугольнике ∠C>∠B. Докажем, что AB>AC.
Предположим, что это не так. Тогда либо AB=BC, либо AB<AC. В первом случае треугольник ABC-равнобедренный, и, значит ∠C=∠B. Во втором случае ∠B>∠C(против большего угла лежит большая сторона). И то и другое противоречит условию: ∠C>∠B. Поэтому наше предположение неверно, и, следовательно, AB>AC.
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Атанасян Л.С. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение Глава 4; §2; п.33; с.71
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 7 класс; Глава 3; §16; теор. 16.4; с.105
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 7 класс; Глава 2; §8; п.26; с.66
Шарыгин И.Ф. "Геометрия 7-9 класс"; ©Дрофа Глава 3; п.3.3; теор. 3.6; с.93
Погорелов А.В. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение §12; п.112; с.174
Козлова С.А. "Геометрия 7-9 класс"; ©Баласс §8.7; теор.21; с.106