Теорема о пропорциональных отрезках

Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшиеся на другой стороне угла.


Доказательство

Доказательство этой теоремы выходит за рамки школьного курса геометрии. Мы приведем доказательство для частного случая.
Пусть стороны угла MON пересечены парллельнымим прямыми AA1 и BB1. Докажем, что:

1) OAOA1=ABA1B1; 2) OAOA1=OBOB1; 3) OBOB1=ABA1B1.

Докажем первое из этих равенств (остальные два доказываются аналогично).
1) Пусть для отрезков OA и AB существует такой отрезок длиной l, который укладывается целое число раз в каждый из них. Имеем: OA=ml, AB=nl, где m и n-некоторые натуральные числа.
2) Тогда отрезки OA и AB можно разделить соответственно на m и n равных отрезков, каждый из которых равен l1. Тогда OA1=ml1, A1B1=nl1.
3) Имеем: OAAB=mlnl=mn,OA1A1B1=ml1nl1=mn. Отсюда OAAB=OA1A1B1. Тогда OAOA1=ABA1B1.
Частный случай теоремы доказан.


Почему же приведенные рассуждения нельзя считать полным доказательством теоремы? Дело в том,что не для любых двух отрезков существует отрезок, который укладывается в каждом из целое число раз. В частности, для отрезков OA и AB такой отрезок может и не существовать. Доказательство для этого случая выходит за пределы рассматриваемого курса.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 8 класс; Глава 2; §11; теор. 11.2; с.75