Отношение площадей треугольников с равными углами

Если угол одного треугольника соответственно равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся, как произведение сторон, заключающих равные углы.


Доказательство

Пусть S и S1-площади треугольников ABC и A1B1C1, у которых A=A1. Докажем, что:

SS1=AB×ACA1B1×A1C1

1) Наложим треугольник A1B1C1 на треугольник ABC так, чтобы вершина A1 совместилась с вершиной A, а стороны A1B1 и A1C1 наложились соответственно на лучи AB и AC. Треугольник ABC и AB1C имеют общую высоту CH, поэтому:

SSAB1C=ABAB1

2) Треугольники AB1C и AB1C1 имеют общую высоту-B1H1, поэтому:

SAB1CSAB1C1=ACAC1

3) Перемножая полученные равенства, находим:

SSAB1C1=AB×ACAB1×AC1,
или SS1=AB*ACA1B1×A1C1


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Атанасян Л.С. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение Глава 6; §2; п.53; с.124