Теорема Птолемея

Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон.


Доказательство

На рисунке изображен вписанный в окружность четырехугольник ABCD. Докажем, что AB·DC+BC·AD=BD·AC.
1) На диагонали AC отметим точку K так, что α=β. Углы γ и δ равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники ABK и DBC подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда ABBD=AKDC, т.е.

AB·DC=BD·AK

2) Так как α=β, то ADB=KBC. Углы ε и ζ равны, как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому KBC~ABD. Отсюда BCBD=KCAD, т.е.

BC·AD=BC·KC

3) Сложив эти два равенства получим

AB·DC+BC·AD=BD·AK+BD·KC, т.е.
AB·DC+BC·AD=BD·(AK+KC)=BD·AC

Теорема доказана


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 8 класс; Глава 2; §13; с.99