Положение точек, симметричных ортоцентру относительно отрезков треугольника

Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин его сторон, лежат на окружности, описанной около этого треугольника, и диаметрально противоположны его вершинам.


Доказательство

Проведем доказательство этого утверждени для точки, симметричной ортоцентру треугольника ABC относительно середины стороны BC.
I) Рассмотрим сначала случай, когда B90° C90°.
1) Пусть BB1,CC1-высоты треугольника ABC, H-его ортоцентр.

2) Проведем диаметр AD окружности, описанной около треугольника ABC. Поскольку каждый из вписанных углов ABD и ACD опирается на полуокружность, то BDAB и CDAC. Следовательно, BB1CD и CC1BD.
3) Рассмотрим четырехугольник BDCH. Его противоположные стороны попарно параллельны, поэтому этот четырехугольник-параллелограмм, и его диагонали BC и DH точкой пересечения M делятся пополам: BH=MC, DM=MH.

4) Таким образом, точка D описанной окружности, диаметрально противоположная точке A, симметрична ортоцентру H относительно середины M стороны BC.


II) В случае, когда B=90°, ортоцентром треугольника ABC является точка B, а точка D, симметричная ортоцентру относительно середины M стороны BC, совпадает с точкой C и, следовательно, лежит на окружности, описанной около треугольника ABC, и диаметрально противоположна точке A.

III) В случае, когда C=90°, доказательство проводится аналогично.
Итак, во всех случаях точка, симметричная ортоцентру H относительно середины стороны BC, лежит на окружности, описанной около треугольника ABC, и диаметрально противоположна вершине A.

Аналогично доказывается, что точка, симметричная ортоцентру H относительно середины чтороны CA(AD), лежит на окружности, описанной около треугольника ABC, и диаметрально противоположна вершине B(C).
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 8 класс; Глава 5; §15; п.64; с.66