Точка пересечения медиан

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.


Доказательство

На рисунке медианы AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Докажем, что CC1 также проходит через точку M и BMMB1=AMMA1=CMMC1=21.
1) Проведем B1KAA1. Так как AB1=B1C, то по теореме Фалеса A1K=KC, т.е. A1CA1K=21. Поскольку BA1=A1C, то BA1A1K=21 . По теореме о пропорциональных отрезках BMMB1=BA1A1C=21. Таким образом, медиана AA1, пересекая медиану BB1, делит её в отношении 2:1, считая от вершины B.
2) Аналогично доказывается, что медиана CC1 также делит медиану BB1 в отношении 2:1, считая от вершины B 3) Это означает, что все три медианы треугольника ABC проходят через одну точку. Мы доказали, что эта точка делит медиану BB1 в отношении 2:1. То что эта точка делит медианы AA1 и CC1 в отношении 2:1, доказывается аналогично.
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 8 класс; Глава 2; §11; теор. 11.3; с.77
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 8 класс; Глава 5; §15; п.62; с.63
Шарыгин И.Ф. "Геометрия 7-9 класс"; ©Дрофа Глава 8; п.8.1; теор. 8.2; с.268