Принадлежность точки к биссектрисе угла

Если точка, принадлежащая углу, равноудалена от его сторон, то она лежит на биссектрисе этого угла.


Доказательство

Очевидно, что вершина угла обладает доказываемым свойство.
Рассмотрим произвольную точку D, принадлежащую углу ABC, не совпадающую с его вершиной и равноудаленную от его сторон.
1) Опустим перпендикуляры DM и DN соответственно на прямые BA и BC. Надо доказать, что ∠MBD=∠NBD.
2) В прямоугольных треугольниках BDM и BDN гипотенуза BD -общая сторона, отрезки DM и DN равны по условию. Следовательно треугольники BDN и BDM равны по катету и гипотенузе. Отсюда ∠MBD=∠NBD.
Теорема доказана


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Атанасян Л.С. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение Глава 8; §3; п.74; с.173
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 7 класс; Глава 4; §19; теор. 19.2; с.126
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 7 класс; Глава 2; §7; п.23; с.58