Перпендикуляр к прямой

Из точки не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой и при том, только один.


Доказательство

Пусть A-точка не лежащая на прямой BC. Докажем сначала, что из точки A можно провести перпендикуляр к прямой BC.

1) Отложим от луча BC угол MBC, равный углу ABC, как показано на рисунке. Так как углы ABC и MBC равны, то первый из них можно наложить на второй так,что стороны BA и BC первого угла совместятся со сторонами BM и BC второго угла. Наглядно это наложение можно представить себе как перегибание перегибание рисунка по прямой BC. При этом точка A наложится на некоторую точку A1, луча BM. Обозначим буквой H точку пересечения прямых AA1 и BC. Отрезок AH и есть искомый перпендикуляр к прямой BC. В самом деле, при указанном наложении луч HA совмещается с лучом HA1, поэтому угол α совмещается с углом β. Следовательно ∠α=∠β. Но углы α и β смежные, значит, каждый из них прямой.
Итак AHBC.
2) Докажем теперь, что из точки A можно провести только один перпендикуляр к прямой BC.
Если предположить, что через точку A можно провести еще один перпендикуляр AH1 к прямой BC, то получим, что две прямые AH и AH1, перпендикулярные к прямой BC, пересекаются. Но эти прямые параллельны, а значит пересечься не могут. Итак, из точки A можно провести только один перпендикуляр к прямой BC.

Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Атанасян Л.С. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение Глава 2; §2; п.16; с.32
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 7 класс; Глава 2; §7; теор. 7.1; с.48
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 7 класс; Глава 1; §4; п.9; с.26
Шарыгин И.Ф. "Геометрия 7-9 класс"; ©Дрофа Глава 2; п.2.3; теор. 2.3; с.49
Погорелов А.В. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение §2; п.16; с.24
Козлова С.А. "Геометрия 7-9 класс"; ©Баласс §5.4; теор.6; с.67