Теорема о перпендикулярных медианах

Если в треугольнике две медианы перпендикулярны, то сумма квадратов сторон, на которые опущены эти медианы, в 5 раз больше квадрата третьей стороны.


Доказательство

Рассмотрим треугольник ABC, стороны которого равны a, b и c.
1) Проведем медианы CM1 и BM2 на стороны b и c соответственно. Пусть они пересекаются под прямым углом. Докажем, что: b2+c2=5a2.
2) Пусть BM2=3x, а CM1=3y. Тогда из свойства медиан треугольника: BO=2x; OM2=x; CO=2y; OM1=y.
3) Треугольник COM2-прямоугольный: CE=0,5b, т.к. BM2-медиана. По теореме Пифагора:

CO2=4y2=b24-x2

4) Аналогично в треугольнике BOM1:

BO2=4x2=c24-y2

5) В треугольнике BOC по теореме Пифагора:

BM22=a2=CO2+BO2
a2=4y2+4x2
y2+x2=a24

6) Подставив в эту формулу выражения из треугольников BOM1 и COM2 получим:

a2=b24+c24-a24
5a24=b24+c24
5a2=b2+c2

Теорема доказана.