Вневписанная окружность

Отрезки касательных, проведенных от вершины треугольника до точек касания с окружностью, касающейся противоположной стороны, равно полупериметру треугольника.


Докажем, что выполняется равенство BF=BH=a+b+c2, где a,b,c-стороны треугольника ABC.
1) Действительно, отрезки AG и AF равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки A. Отрезки CG и CH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки C. Отрезки BF и BH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки B. Отсюда получаем:

BF=BA+AF=BA+AGBH=BC+CH=BC+CGBF=BH

2) Из п.1 получаем:

BF=BH=12(BA+AG+BC+CG)=a+b+c2=p, где буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC.

Теорема доказана.


Площадь треугольника можно вычислить по формуле S=Ra•(p-a), где Ra-радиус вневписанной окружности, касающейся стороны треугольника, равной a; p-полупериметр треугольника.

Действительно, если две другие стороны треугольника равны b и c, то:

S=SACOa+SABOa+SBCOa=12b·Ra+12c·Ra-12a·Ra=Ra(p-a)

Теорема доказана.