Правильный многоугольник является выпуклым


Доказательство

Докажем, что любой правильный n-угольник является выпуклым многоугольником. Для этого достаточно показать, что в любом многоугольнике есть хотя бы один угол, меньший 180°. Тогда из того, что в правильном n-угольнике все углы равны, будет следовать, что каждый из них меньше 180°, т.е. многоугольник будет выпуклым.
1) Рассмотрим произвольный многоугольник и прямую a, не имеющую с ним общих точек. Из каждой вершины многоугольник аопустим перпендикуляр на прямую a.
2) Сравнив длины этих перпендикуляров, мы сможем выбрать вершину, наименее удаленную от прямой a(если таких вершин несколько, то выберем любую из них). Пусть этим свойством обладает вершина A. Через точку A проведем прямую b, парллельную прямой a. Тогда угол A многоугольника лежит в одной полуплоскости относительно прямой b. Следовательно A<180°.
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 9 класс; Глава 2; §6; теор. 6.1; с.48