Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.


Доказательство

Рассмотрим треугольник ABC. Надо доказать, что: 1) AB<AC+CB; 2) AC<AB+BC; 3) BC<BA+AC.
Докажем первое неравенство (два других доказываются аналогично).
I) Пусть доказываемое неравенство неверно. Тогда AB>AC+CB или AB=AC+CB.
1) Пусть AB=AC+CB. Тогда на стороне AB можно отметить точки C1 и C2, такие, что AC=AC1 и BC=BC2. Поскольку мы предположили, что AB>AC+CB, то AB>AC1+BC2. Следовательно отрезки AC1 и BC2 не имеют общих точек.
2) Углы AC1C и BC2C являются острыми, как углы при основании равнобедренных треугольников AC1C и BC2C соответственно. Тогда углы CC1C2 и CC2C1 являются тупыми как углы, смежные с острыми. Получили противоречие: в треугольнике C1CC2 два тупых угла.
II) Рассуждая аналогично, можно показать, что равенство AB=AC+CB тоже приводит к противоречию.
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Атанасян Л.С. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение Глава 4; §2; п.34; с.73
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 7 класс; Глава 3; §16; теор. 16.3; с.104
Погорелов А.В. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение §7; п.66; с.95
Козлова С.А. "Геометрия 7-9 класс"; ©Баласс §8.7; теор.23; с.107