Теорема Менелая

Если на сторонах AB и BC и на продолжении стороны AC (либо на продолжениях сторон AB,BC и AC) взять соответственно точки C1, A1 и B1, то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда:

AB1B1C×CA1A1B×BC1C1A=1


Доказательство

I) Пусть точки А11 и С1 лежат на одной прямой. Докажем, что выполнено равенство. Проведем AD,BE и CF параллельно прямой В1А1 (точка D лежит на прямой ВС). Согласно обобщению теоремы Фалеса имеем:

AB1B1C=DA1A1C и BC1C1A=BA1A1D

Перемножая левые и правые части этих равенств, получаем:

AB1B1C×BC1C1A=A1BCA1, откуда AB1B1C×CA1A1B×BC1C1A=1.


II) Докажем обратное утверждение. Пусть точка В1 взята на продолжении стороны АС, а точки С1 и А1 – на сторонах АВ и ВС, причем так, что выполнено равенство. Докажем, что точки А11 и С1 лежат на одной прямой.
Прямая B1C1 персекает сторону BC в некоторой точке A2. Так как точки B1, C1 и A2 лежат на одной прямой, то по доказанному в первом пункте:

AB1B1C×CA2A2B×BC1C1A=1.

Сопоставляя два пункта, приходим к равенству:

CA1A1B=CA2A2B

Это равенство показвает, что точки A1 и A2 делят сторону BC в одном и том же отношении. Следовательно, точки А1 и А2 совпадают, и, значит, точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой. Аналогично доказывается обратное утверждение в случае, когда все три точки А11 и С1 лежат на продолжениях соответствующих сторон.

Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Мерзляк, Полнский "Геометрия"; ©Вентана-Граф 8 класс; Глава 2; §; с.96