Прямая, проведенная через середины основания трапеции

Прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.


Доказательство

1) Пусть ABCD-данная трапеция, M и N-середины оснований BC и AD, а O-точка пересечения прямых AB и CD. Докажем, что точка O лежит на прямой MN.
2) Треугольники OAD и OBC подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому OAOB=ODOC=k.
3) Так как OBOA и OCOD, то

OA=k·OB, OD=k·OC

4) Точка M-середина отрезка BC, поэтому OM=12(OB+OC).
5) Аналогично, ON=12(OA+OD).
6) Подставив в это равенство выражения для OA и OD, получим:

ON=k·12(OB+OC)=k·OM

7) Отсюда следует, что векторы ON и OM коллинеарны, и, значит, точка O лежит на прямой MN.
Теорема доказана.