Определения вида треугольника по трем сторонам

Пусть a, b и c-стороны треугольника, причем a-его наибольшая сторона. Докажем что, если a2<b2+c2, то треугольник остроугольный; если a2>b2+c2, то треугольник тупоугольный; если a2=b2+c2, то треугольник прямоугольный.


Доказательство

1)По теореме косинусов:

a2=b2+c2-2bc·cos α

Отсюда 2bc·cos α=b2+c2-a2.
2) Если a2<b2+c2, то b2+c2-a2>0. Следовательно, 2bc·cos α>0, т.е. cos α>0. Поэтому угол α-острый. Поскольку a-наибольшая сторона треугольника, то против нее лежит наибольший угол, который, как мы доказали, является острым. Следовательно, в этом случае треугольник является остроугольным.
3) Если a2>b2+c2, то b2+c2-a2<0. Значит 2bc·cos α<0, т.е. cos α<0. Следовательно угол α-тупой. В этом случае треугольник является тупоугольным.
4) Если a2=b2+c2, тогда 2bc·cos α=0. Следовательно, cos α=0. Отсюда α=90°. В этом случае треугольник является прямоугольным.
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 9 класс; Глава 1; §2; теор. 2.2; с.13