Свойства точки пересечения диагоналей и точки пересечения боковых сторон

Пусть в трапеции ABCD стороны AD||BC, E-точка пересечения прямых AB и CD, P и Q-середины оснований AD и BC соответственно, O-точка пересчения диагоналей.
Тогда точки P,Q,O и E лежат на одной прямой.


Докажем, прямая, проходящая через точки E и O, проходит также и через середины оснований трапеции
1) Изначально будем считать, что точки P и Q являются лишь точками пересечения этой прямй с основаниями трапеции.
2) Поскольку прямые AD и BC параллельны, треугольник AEP подобен треугольнику BEQ, а треугольник DEP подобен треугольнику CEQ. Из этих подобий:

A P B Q = E P E Q ,   D P C Q = E P E Q A P B Q = D P C Q

3) С другой стороны треугольник AOP подобен треугольнику COQ, а треугольник DOP подобен треугольнику BOQ. Из этих подобий:

A P C Q = O P O Q ,   D P B Q = O P O Q A P C Q = D P B Q

4) Почленно разделив друг на друга полученные соотношения, получаем:

C Q B Q = B Q C Q B Q = C Q A P = D P

5) Отсюда получаем, что P и Q середины оснований AD и BC соответственно.
Теорема доказана.