Точка пересечения медиан и ортоцентр

Точка пересечения медиан неравностороннего треугольника лежит на отрезке, соединяющем центр описанной около него окружности с ортоцентром, и делит этот отношении 2:1, считая от ортоцентра.


Доказательство

Рассмотрим неравносторонний треугольник ABC, в котором, например ABAC. Пусть O-центр окружности, описанной около треугольника ABC, D-точка окружности, диаметрально противоположная вершинеA, H-ортоцентр треугольника ABC.

1) В рассматриваемом случае точки A, D и H не лежат на одной прямой (объясните почему).
2) Поскольку точки H и D симметричеы относительно середины M стороны BC, то HM=MD.

3) Отрезки HO и AM являются медианами треугольника ADH, поэтому каждый из них делится точкой их пересечения G в отношении 2:1, считая от вершины: HGGO=21, AGGM=21. Но отрезок AM, будучи медианой треугольника ABC, делится в отношении 2:1, точкой пересечения медиан треугольника ABC. Следовательно, точка G является точкой пересечения медиан треугольника ABC.
4) Таким образом, точка G лежит на отрезке HO и делит этот отрезок в отношении 2:1, считая от точки H.
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 8 класс; Глава 5; §15; п.64; с.67