Теорема о пересечении высот треугольника

Высоты треугольника (и их продолжения) пересекаются в одной точке.


Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что прямые AA1, BB1и CC1, содержащие его высоты, пересекаются в одной точке.
1) Проведем через каждую вершину треугольника ABC прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник A2B2C2. Точки A, B и C являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, AB=A2C и AB=CB2 как противоположные стороны параллелограмма ABA2C и ABCB2, поэтому A2C=CB2.
2) Аналогично C2A=AB2 и C2B=BA2.
3) Кроме того, как следует из построения СС1A2B2, AA1B2C2 и BB1A2C2. Таким образом, прямые AA1, BB1и CC1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника A2B2C2. Следовательно, они пересекаются в одной точке.
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Атанасян Л.С. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение Глава 8; §3; п.76; с.176
Шарыгин И.Ф. "Геометрия 7-9 класс"; ©Дрофа Глава 8; п.8.1; теор.8.1; с.268