Признак описанного четырехугольника

Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180°, то около него можно описать окружность.


Доказательство

Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором ∠A+∠C=180°. Докажем, что около него можно описать окружность.
Предположим, что около этого четырехугольника нельзя описать окружность. Опишем окружность около треугольника ABD. По предположению точка C не принадлежит этой окружности. Тогда возможны два случая:

I) Точка C лежит вне описанной окружности треугольника ABD.
Пусть сторона BC пересекает окружность в точку C1. Четырехугольник ABC1D-вписанный в окружность. Тогда по теореме 10.1 получаем, что A+BC1D=180°. Но по условию ∠C+∠A=180°. Отсюда ∠BC1D=∠C. Однако это равенство выполнятся не может, так как по свойству внешнего угла треугольника ∠BC1D=∠C+∠CDC1.
Итак точка C не может лежать вне окружности, описанной около треугольника ABD.

II)Точка C лежит внутри описанной окружности треугольника ABD. Рассуждая аналогично, можно показать, что точка C не может лежать внутри рассматриваемой окружности. Убедитесь в этом самостоятельно.
Таким образом, предположив, что точка C не принадлежит окружности, описанной около треугольника ABD, мы получили протворечие.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 8 класс; Глава 1; §10; теор. 10.2; с.62
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 8 класс; Глава 5; §13; п.51; с.40
Шарыгин И.Ф. "Геометрия 7-9 класс"; ©Дрофа Глава 8; п.8.5; теор.8.5; с.295
Погорелов А.В. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение §13; п.119; с.186
Козлова С.А. "Геометрия 7-9 класс"; ©Баласс §18.3; теор.79; с.267