Теорема о вписанном угле

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.


Доказательство

Пусть ∠ABC-вписанный угол окружности с центром O, опирающийся на дугу AC. Докажем, что AOC=12AC. Рассмотрим три возможных случая расположения луча BO относительно угла ABC.
I) Луч BO совпадает с одной из сторон угла ABC, например со стороной BC.
1) В этом случае дуга AC меньше полуокружности, поэтому AOC=AC.
2) Так как угол AOC-внешний угол равнобедренного треугольника ABO, а углы α и β при основании равнобедренного треугольника равны, то:

AOC=α+β=2α

3) Отсюда следует, что:

2α=ACABC=α=12AC


II) Луч BO делит угол ABC на два угла.
В этом случае луч BO пересекает дугу AC в некоторой точке D. Точка D разделяет дугу AC на две дуги: ∪AD и ∪DC. По доказанному в пункте в п.1: ABD=12AD и DBC=12DC. Складывая эти равенства, получаем:

ABD+DBC=12AD+12DCABC=12AC

III) Луч BO не делит угол ABC на два угла и не совпадает со стороной этого угла.
Для этого случая проведите доказательство самостоятельно.
Теорема доказана


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Атанасян Л.С. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение Глава 8; §2; п.73; с.169
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 8 класс; Глава 1; §9; теор. 9.1; .с.53
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 7 класс; Глава 3; §9; п.33; с.87
Шарыгин И.Ф. "Геометрия 7-9 класс"; ©Дрофа Глава 5; п.5.2; теор. 5.3; с.162
Погорелов А.В. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение §11; п.107; с.162
Козлова С.А. "Геометрия 7-9 класс"; ©Баласс §18.1; теор.74;с.260