Вписанный и описанный правильный многоугольник

Любой правильный многоугольник является одновременно вписанным в окружность и описанным около окружности, причем центры описанной и вписанной окружностей совпадают.


Доказательство

На рисунке изображен правильный n-угольник A1A2A3...An. Докажем, что в него можно вписать и вокруг него можно описать окружности.
1) Проведем биссектрисы угловA1 и A2. Пусть O-точка их пересечения. Соединим точки O и A3. В треугольниках OA1A2 и OA2A3: β=γ, A1A2=A2A3 и OA2-общая сторона. Поэтому эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников. Кроме того углы α и β равны как половины равных углов. Отсюда треугольник OA1A2-равнобедренный, следовательно равнобедренным является и треугольник OA2A3. Поэтому OA1=OA2=OA3.
2) Соединяя точку O с вершинамиA4, A5,..., An-1, A1,аналогично можно показать, что OA3=OA4=...=OAn-1=OAn.
3) Таким образом, для многоугольника A1A2A3...An существует точка, равноудаленная от всех его вершин. Это точка O-центр описанной окружности.
4) Так как -равнобедренные треугольники OA1A2, OA2A3, OA3A4, ..., OAn-1An, OAnA1 равны, то равны и их высоты проведенные из вершины O. Отсюда делаем вывод: точка O равноудалена от всех сторон многоугольника. Следовательно, точка O-центр вписанной окружности.
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Атанасян Л.С. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение Глава 12; §1; п.110; с.271
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 9 класс; Глава 2; §6; теор. 6.2; с.49
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 8 класс; Глава 5; §13; п.52; с.41
Погорелов А.В. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение §12; п.116; с.182
Козлова С.А. "Геометрия 7-9 класс"; ©Баласс §19.1; теор.81; с.275