Формула Герона

Площадь S треугольника со сторонами a, b, c выражается формулой S=p(p-a)(p-b)(p-c), где p=12(a+b+c)- полупериметр треугольника.


Доказательство

Рассмотрим треугольник ABC, в котором AB=c, BC=a, AC=b
1) В любом треугольнике по крайней мере два угла острые. Пусть A и B-острые углы треугольника ABC. Тогда основание H высоты CH треугольника лежит на AB. Введем обозначения: CH=h, AH=y, HB=x.
2) По теореме Пифагора a2-x2=h2=b2+y2 , откуда y2-x2=b2-a2, или (y-x)(y+x)=b2-a2. Так как y+x=c, то y-x=1c(b2-a2).
3) Сложив два последних равенства и разделив на 2, получим:

y=b2+c2-a22c.

Отсюда:

h2=b2-y2=(b+y)(b-y)=
=(b+b2+c2-a22c)(b-b2+c2-a22c)=
=(b+c+a)(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)4c2=
=2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)4c2=
=4p(p-a)(p-b)(p-c)c2.
Следовательно, h=2p(p-a)(p-b)(p-c)c.
Но S=12hc, откуда и получаем:
S=p(p-a)(p-b)(p-c)

Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Атанасян Л.С. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение Глава 6; §3; п.57; с.130
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 9 класс; Глава 1; §5; теор. 5.2; с.34
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 9 класс; Глава 8; §22; п.108; с.73
Шарыгин И.Ф. "Геометрия 7-9 класс"; ©Дрофа Глава 10; п.10.2; с.351
Козлова С.А. "Геометрия 7-9 класс"; ©Баласс §11.4; теор.54; с.174