Принадлежность четырех точек окружности

Если для четырех точек плоскости выполняется одно из следующих двух условий:
1)Точки M и K расположены по одну сторону от прямой AB и при этом AMB=AKB;
2)Точки M и K расположены по разные стороны от прямой AB и при этом AMB+AKB=180°,
то точки A, B, M и K лежат на одной окружности.


Доказательство

I) Проведем окружность через точки A, B и M. Эта окружность должна пройти через точку K. В самом деле, точка K не может находится внутри этой окружности, поскольку в этом случае, согласно теореме об угле между хордами, угол измерялся бы половиной суммы дуги AB и ещё какой-то дуги, т.е. был больше угла AMB. Точка K не может располагатся и вне этой окружности, так как в этом случае угол AKB был бы меньше угла AMB.
Итак, точка K обязательно должна лежать на окружности, проходящей через точки A, B и M.

II)Этот случай легко свести к случаю а). Для чего, проведя через точки A, B и M окружность, возьмем на дуге, не содержащей точки M, точку M0. Сумма углов AMB и AM0B измеряется половиной всей окружности. Значит, AMB+AM0B=180°. Теперь из условия б) следует, что AM0B=AKB, и мы пришли к предыдущему случаю.
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Шарыгин И.Ф. "Геометрия 7-9 класс"; ©Дрофа Глава 5; п.5.3; теор. 5.9 и 5.10; с.170-171