Теорема Фалеса

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.


Доказательство

Пусть дан угол AOB. Известно, что OA1=A1A2=A2A3=A3A4=..., A1B1∥A2B2, A2B2∥A3B3, ... . Докажем, что OB1=B1B2=B2B3= ... .
I) Предположим, что OB1B1B2. Пусть серединой отрезка OB2 является некоторая точка C1. Тогда отрезок A1C1-средняя линия треугольника A2OB2. Отсюда A1C1A2B2. Значит, через точку A1 проходит две прямые, параллельные прямой A2B2, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, OB1=B1B2.
II) Предположим, что B1B2B2B3. Пусть серединой отрезка B1B3 является некоторая точка C2. Тогда отрезок A2C2-средняя линия трапеции A3A1B1B3. Отсюда A2C2A3B3. Значит через точку A2 проходит две прямые, параллельные прямой A3B3. Мы пришли к противоречию. Следовательно, B1B2=B2B3.
III) Аналогично доказывают, что B2B3=B3B4 и т.д.
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 8 класс; Глава 2; §11; теор. 11.1; с.74
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 8 класс; Глава 5; §15; п.61; с.62
Шарыгин И.Ф. "Геометрия 7-9 класс"; ©Дрофа Глава 6; п.6.2; теор. 6.4; с.199
Погорелов А.В. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение §6; п.57;с.78
Козлова С.А. "Геометрия 7-9 класс"; ©Баласс §10.5; теор.44; с.149