Биссектриса внешнего угла треугольника

Если биссектриса внешнего угла при вершине A треугольника ABC пересекает прямую BC в точке D, то BDBA=DCAC.


1) Проведем прямые CD и BF, парллельные прямой AD (E-точка на стороне AB).
2) Согласно обобщению теоремы Фалеса BCBE=CDEA. Отсюда получаем:

BCCD=BEEA, BCCD+1=BEEA+1, т.е.
BCCD=BAEA, или BDBA=DCEA

3) Докажем, что EA=AC. Для этого заметим, что ∠1=∠2, ∠3=∠1, ∠2=∠4, откуда следует, что ∠3=∠4. Таким образом, треугольник AEC равнобедренный, поэтому EA=AC.
4) Следовательно, BDBA=DCAC.
Теорема доказана.