Список задач


В прямоугольном треуголььнике ABC (∠C=90°), AC=3, AB=5, AM-биссектриса угла CAB. Найдите длину медианы ME треугольнка AMB.

Пусть дан треугольник ABC, ∠C=90°, AC=3, AB=5. AM-биссектриса угла CAB, ME-медиана.
Введем систему координат: т.C(0;0), B(4;0), A(0;3).
Так как AM-биссектриса, то CMAC=MBAB·CMMB=ACAB=35=0,6.
xM=xc+0,6xB1+0,6=0+0,6·41,6=1,5, yM=0.M(1,5;0).
Точка E-середина отрезка AB, E(2, 1,5).
ME=(1,5-2)2+(0-1,5)2=102.

Ответ: ME=12·10.

Пусть точка M-точка пересечения медиан треуголника ABC, A(-1;2), B(2;3), M(1;2). Напишите уравнение прямой AC и найдите координаты вершины C.

Пусть точка C1-середина AB, C1(0,5;2,5).
Точка M-точка пересечения медиан треугольника ABC, CMMC1=21=k. Тогда xM=xC+kxC11+k, т.е. xC+2·0,51+2=1, xM=2.
yM=yC+kyC11+k, т.е. yC+2·2,51+2, yM=1.C(2;1).
Запишем каноническое уравнение прямой AC с направляющим вектором AC(3;-1) и точкаой A(-1;2): x+13=y-2-1, откуда x+3y-5=0.
Ответ: C(2;1); (AC): x+3y-5=0.

Дан квадрат со стороной a. На каждой стороне квадратв вне его построена трапеция так, что верхние основания этих трапеций и их боковые стороны образуют правильный двенадцатиугольник. Найдите его площадь.

Пусть A1A4A7A10-квадрат, A1A4=a, A1A>2…A12-правильный двенадцатиугольник. Квадрат и двенадцатиугольник вписаны в одну и ту же окружность.
A1A4=R2, R=a22.
A1A2=a12=2R·sin 15°=a2·sin 15°, r=R·cos·15°=0,52·cos 15°.
S12=0,5P·r=0,5·12·a2·
·sin 15°·0,5·a2·cos 15°=
=3a2·sin 30°=1,5a2
Ответ: 1,5a2.

В правильном пятиугольнике ABCDE диагонали AC и BE пересекаются в точке O. BO=2. Найдите сторону пятиугольника.

Пусть дан правильный пятиугольник ABCDE. Диагонали AC и BE пересекается в точке O. BO=2.
Около правильного пятиугольника можно описать окружность, причем ∪AB=∪BC=∪CD=∪DE=∪EA. Тогда∠OAB=∠OBA(вписанные углы, опирающиеся на равные дуги). Треугольник AOB равнобедренный, AO=BO=2. ∠1=36°, ∠AOB=180°-72°=108°.
Из треугольника AOC по теореме синусов: ABsin 108°=BOsin 36°.
AB=2·sin 108°sin 36°=2·sin 72°sin 36°=4·sin 36°=3,2.
Ответ: AB=3,2

Известны длины сторон треугольника ABC: AB=5, CA=8, BC=9. На луче AB выбрана такая точка K, что угол KCA равен углу ABC. Найдите стороны треугольника KBC.

В треугольниках KAC и ABC угол A-общий, угол KCA равен углу ABC. Тогда треугольники KAC и ABC подобны по двум углам. Запишем отношение сходственных сторон: ACAB=KCBC=AKAC. Отсюда AK=12,8, KC=14,4, KB=AK-AB=7,8.
Ответ: KC=14,3

Треугольники ABC и A1B1C1 подобны, стороны первого равны 4 см, 5 см, 6 см. Сумма квадрата средней сторны треугольника A1B1C1 и двух других его сторон равна 15. Найти периметр и площадь треугольника A1B1C1

Пусть в треугольнике ABC AB=4см BC=5см, AC=6см, так как треугольники ABC и A1B1C1 подобны, то из A1B14=B1C15=A1C16, получаем A1B1=0,8•B1C1, A1C1=1,5•B1C1. Пусть B1C1=x, тогда по условию x2+0,8x+1,2x=15, x=3.
B1C1=3, A1B1=2,4, A1C1=3,6. Периметр треугольника A1B1C1 равен 9 см. По формуле Герона: S=4,5(4,5-3)(4,5-2,4)(4,5-3,6)=1,357см2.
Ответ: P=9см, S=1,357см2.

В равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной 10 см, вписана окружность радиусом 3 м. Найдите площадь трапеции.

Так как трапеция описана около окружности, то суммы противоположных сторон трапеции равны. Тогда сумма оснований 20см. Диаметр окружности, вписанной в трапецию равен её высоте. Высота трапеции равна 6 см.
S=12·20·6=60см2
Ответ: 60см2

В треугольник ABC вписана окружность c центром O, ∠ACB=60°, AO=5, BO=8. Найти радиус вписанной окружности.

∠ABC+∠CAB=180°-∠C=120°.
Так как точка O-точка вписакнной окружности, то AO и BO биссектрисы.
∠AOB=180°-(∠BAO+∠ABO)=180°-0,5(∠ABC-∠CAB)=180°-60°=120°.
В треугольнике AOB по теореме косинусов AB2=BO2+AO2=2•BO•AO•cos120°, AB2=129, AB=129.
SAOB=12·AO·OB·sin120°=103. SAOB=12·AB·r. Тогда r=204343.
Ответ: r=204343

Хорды AB и CD пересекаются в точке M. Найти дугу CB и CDB и ∠AMC=64°, а величина дуги AD 54°.

Проведем хорду CA. Угол ACD-вписанный угол, ACD=12·AD=27°. В треугольнике CAM ∠ACM=27°, ∠AMC=64°, ∠CAM=180°-27°-64°=89°.
Угол CAM-вписанный, ∪BC=2•∠CAM=178°.
Угол CDB-вписанный и опирается на дугу BC. CDB=12·BC=89°.
Ответ: 178°, 89°.

Вершины четырехугольника ABCD разбивают описанную около него окружность на дуги AB, BC, CD, DA, длины которых относятся как 1:5:2:10 соответственно. Найдите углы и площадь четырехугольника ABCD, если BD=8см, AC=5см.

Пусть ∪AB=x, тогда x+5x+2x+10x=360°, x=20°.
По свойству описанного угла:

∠BAD=0,5(∪BC+∪CD)=0,5(100°+40°)=70°,
∠ADC=60°, ∠BCD=110°, ∠ABC=120°.
∠AOB=0,5(∪CD+∪AB)=30°,
S=0,5AC•CD•sin∠AOB=10см2.

Ответ: 70°, 60°, 110°, 120°. 10см2.

Четырехугольник АВСD вписан в окружность, ∪AB : ∪BC : ∪СD = 2 : 1 : 3. Найти площадь четырехугольника, если R = 4см, а центр окружности лежит на стороне АD.

Так как AD-диаметр окружности, то ∪AB+∪CD+∪BC=180°. Тогда AB=26·180°=60°, CD=36·180°=90°, BC=16·180°=30°.
SAOB=12·AO·OB·sin AOB=43см2.
SBOC=12·BO·OC·sin BOC=4 см2.SBOC=12·CO·OD·sin COD=8 см2.
SABCD=43+4+8=12+43 см2.
Ответ: 12+43 см2

Найдите тангенсы острых углов треугольника ABC, если∠ABC=90°, AC=23, ВК=1, где ВК- высота треугольника.

BK2=AK•KC. Пусть AK=x, тогда KC=23-x.
Составим уравнение x(23-x)=1, откуда x=3+2 или x=3-2.

  1. AK=3-2, тогда KC=3+2, tan A=BKAK=3+2, tan C=3-2.
  2. AK=3+2, тогда KC=3-2, tan A=BKAK=3-2, tan C=3+2.