Прямая Эйлера

В любом треугольнике центр описанной окружнсоти, центроид и ортоцентр лежат на одной прямой(прямой Эйлера).


Доказательство

1) Для равнобедренного треугольника данное утверждение очевидно.
2) Если данный треугольник ABC прямоугольный (С=90°), то его ортоцентр-это точка C, центр описанной окружности-середина гипотенузы AB. Тогда понятно, что все три точки, о которых идет речь в теореме, принадлежать медиане, проведенной к гипотенузе.


3) Теперь докажем теорему для остроугольного равностороннего треугольника. Это доказательство будет основыватся на данной лемме:

Если точка H-ортоцентр треугольника ABC, OM1-перпендикуляр, опущенный из центра O описанной окружности на сторону BC, то AH=2OM1.

4) Выполним дополнительное построение: через каждую вершину треугольника ABC проведем прямую параллельную противолежащей стороне. Получим треугольник A1B1C1.
5) Точка H является центром описанной окружности треугольника A1B1C1. Для этой окружности угол B1HC1 является центральным, а угол B1A1C1-вписанным. Так как они опираются на одну и ту же дугу, то B1HC1=2B1A1C1.
6) Углы BAC и B1A1C1 равны как противолежащие углы параллелограмма ABA1C, поэтому BOC=2BAC=2B1A1C1=B1HC1.
6) Поскольку B1C1=2BC, то равнобедренные треугольники B1HC1 и COB подобны с коэффицентом подобия, равным 2.
7) Поскольку отрезки AH и OM1-соответственные высоты подобных треугольников, то AH=2OM1.


Докажем основную теорему.
8) Поскольку точка M1-середина стороны BC, то отрезок AM1-медиана треугольника ABC.
9) Пусть точка M-точка пересечения отрезков AM1 и HO. Так как AHOM1, то HAM=OM1M. Кроме того, углы AMH и M1MO равны как вертикальные.
10) Следовательно, треугольники HAM и OM1M подобны по первому признаку подобия треугольников.
11) Отсюда AMMM1=AHOM1=2. Значит точка M делит медиану AM1 в отношении 2:1, считая от верщины A. Тогда точка M-центроид треугольника ABC.
Доказательство для тупоугольного треугольника проводится аналогичным образом.
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Атанасян Л.С. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение Глава 2; §1; п.14; с.30
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 7 класс; Глава 2; §8; теор. 8.1; с.53
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 7 класс; Глава 2; §6; п.15; с.40
Шарыгин И.Ф. "Геометрия 7-9 класс"; ©Дрофа Глава 3; п.3.2; с.76
Погорелов А.В. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение §3; п.20; с.29
Козлова С.А. "Геометрия 7-9 класс"; ©Баласс §5.4; теор.5; с.66