Окружность Эйлера

В неравностороннем треугольнике середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной окружности, центром которой является середина отрезка, соединяющего ортоцентр с центром описанной окружности, а её радиус в два раза меньше радиуса описанной окружности.


Доказательство

Рассмотрим произвольный неравносторонний треугольник и будем считать, что его вершины обозначены так, что ABAC и ABBC.
1) Пусть H-ортоцентр; O-центр описанной окружности, R-её радиус; A1, B1 и C1-середины сторон BC, CA и AB; A2, B2 и C2- основания высот, проведенных к этим сторонам; A3, B3 и C3-середины отрезков AH, BH и CH; E-середины отрезка OH. Докажем, что окружность с центром E радиуса R2 проходит через точки A1, B1, C1, A2, B2, C2, A3, B3, C3.

2) Если A=90°, то точки H и A3 совпадают с точкой A, а точка A1- с точкой O. Поэтому A1A3=OA=R и точка E-середина отрезка A1A3.

3) Если же A90°, то проведем диаметр AD,окружности, описанной около треугольника ABC. Так как точка A1-середина отрезка DH, то отрезок OA1-средняя линия треугольника ADH. Следовательно:

A1A3=12AD=R,
OA3=12DH=A1H,
OA3A1H

4) Так как противоположные стороны OA3 и A1H четырехугольника OA3HA1 равны и параллельны, то этот четырехугольник-параллелограмм, и середина E его диагонали OH является также серединой диагонали A1A3. Таким образом, как и в предыдущем случае, A1A3=R и точка E-середина отрезка A1A3. Следовательно, окружность с центром E радиуса R2 проходит через точки A1 и A3, а поскольку точка E-середина гипотенузы A1 прямоугольного треугольника A1A2A3, то указанная окружность проходит и через точку A2.

5) По аналогичным причинам эта окружность проходит через точки B1, B2, B3, а в случае когда ACBC и через точки C1, C2 и C3.

6) Если же AC=BC, то точки C1 и C2 совпадают A=B90°.
7) Отрезки A1C1 и A3C3-средние линии треугольников BAC и HAC с общей стороной AC, перпендикуляроной прямой BH. Следовательно, стороны A1C1 и A3C3 четырехугольника A1C1A3C3 четырехугольника равны и параллельны, т.е. параллелограм A1C1A3C3-прямоугольник.
8) Его диагональ A1A3 является, согласно доказанному, диаметром рассматриваемой окружности, поэтому и диагональ C1C3 является её диаметром.
9) Итак точки C1, C2 и C3 лежат на этой окружности.
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 8 класс; Глава 5; §15; п.65; с.69