Признак описанного четырехугольника

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.


Доказательство

Рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD, в котором AB+CD=BC+AD. Докажем, что в него можно вписать окружность.
1) Пусть биссектрисы углов A и B пересекаются в точку O. Тогда точка O равноудалена от сторон AB, BC и AD. Следовательно, существует окружность с центром в точке O, которая касается трех этих сторон.
2) Предположим, что эта окружность не касается стороны CD. Тогда возможны два случая:

I) Сторона CD не имеет общих точек с построенной окружностью.
1) Проведем касательную C1D1 парллельно стороне CD. Четырехугольник ABC1D1 описан около окружности. Тогда по теореме 10.3 получаем, что AB+C1D1=BC1+AD1.
2) Однако по условию AB+CD=BC+AD.
3) Вычтем из второго равенства первое:

CD-C1D1=BC-BC1+AD-AD1.

4) Отсюда CD-C1D1=C1C+D1D; CD=C1C+D1D+C1D1.
5) Но это равенство противоречит утверждению, что длина любой стороны четырехугольника меньше суммы длин трех его сторон.
6) Итак, сторона CD должна иметь общие точки с рассматриваемой окружностью.


II)Сторона CD имеет две общие точки с рассматриваемой окружность.
Рассуждая аналогично, можно показать, что это утверждение так же неверно. Сделайте это самостоятельно.

Таким образом, предположив, что построенная окружность не касается стороны CD, мы получили противоречие.
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 8 класс; Глава 1; §10; теор. 10.4; с.63
Погорелов А.В. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение §13; п.119; с.185
Козлова С.А. "Геометрия 7-9 класс"; ©Баласс §18.3; теор.78; с.266