Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

На плоскости любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.


Доказательство

Пусть a и  b-данные неколлинеарные векторы. Докажем сначала, что любой вектор можно разложить по векторам a и b. Возможны два случая:
I) Вектор p коллинеарен одному из векторов a и b, например вектору b.
В этом случае по лемме о коллинеарных векторах вектор p можно представить в виде  p=yb, где y-некоторое число, и, следовательно, p=0·a+y·b, т.е. вектор p разложен по векторам a и b.

II) Вектор p не коллинеарен ни вектору a, ни вектору b.
1) Отметим какую-нибудь точку O и отложим от нее векторы OA=a, OB=b, OP=p.
2) Через точку P проведем прямую, параллельную прямой OB, и обозначим через A1 точку пересечения этой прямой с прямой OA.
3) По правилу треугольника p=OA1+A1P. Но векторы OA1 и A1P коллинеарны соответственно векторам a и b, поэтому существует такие числа x и y, что OA1=xa, A1P=xb. Следовательно, p=xa+yb, т.е. вектор p разложен по векторам a и b.
4) Докажем теперь, что коэффициенты x и y разложения определяются единственным образом.
5) Допустим, что наряду с разложением p=xa+yb имеет место другое разложение p=x1a+y1b.
6) Вычитая второе равенство из первого и используя правило действий над векторами, получаем 0=(x-x1)a+(y-y1)b.
7) Это равенство может выполняться только в том случае, когда коэффициенты x-x1 и y-y1 равны нулю. В самом деле, если предположить, что x-x1≠0, то из полученного равенства найдем a=y-y1x-x1b, а значит, векторы a и b коллинеарны. Но это противоречит условию теоремы.
8) Следовательно, x-x1=0 и y-y1=0, откуда x=x1 и y=y1. Это и означает, что коэффициенты разложения вектора p определяются единственным образом.
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Атанасян Л.С. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение Глава 10; §1; п.89; с.223
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 9 класс; Глава 7; §20; п.96; с.42
Шарыгин И.Ф. "Геометрия 7-9 класс"; ©Дрофа Глава 12; п.12.3; теор.12.1; с.409
Козлова С.А. "Геометрия 7-9 класс"; ©Баласс §13.10; теор.61; с.209