Признак параллельности по накрест лежащим углам

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.


Доказательство

Пусть при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны: ∠α=∠β.
Докажем, что a∥b.
I) Если углы α и β прямые, то прямые a и b перпендикулярны к прямой AB и, следовательно, параллельны.
II) Рассмотрим случай, когда ∠α и ∠β не прямые.
1) Из середины O отрезка AB проведем перпендикуляр OH к прямой a.

2)На прямой b от точки B отложим отрезок BH1, равный отрезку AH, как показано на рисунке выше и проведем отрезок OH1. Треугольники OHA и OH1B равны по двум сторонам и углу между ними(AO=BO, AH=BH1, ∠α=∠β), поэтому ∠HOA=∠H1OB, ∠AHO=∠BH1O.
3)Из п.2 следует, что точка H1 лежит на продолжении луча OH, т.е. точки H, O и H1 лежат на одной прямой. А из равенства ∠AHO=∠BH1O, что угол BH1O-прямой (так как угол AHO-прямой).
4)Итак, прямые a и b перпендикулярны к прямой HH1, поэтому они параллельны.
Теорема доказана


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Атанасян Л.С. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение Глава 3; §1; п.25; с.53
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 7 класс; Глава 3; §14; теор. 14.1; с.88
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 8 класс; Глава 4; §11; п.41; с.11
Погорелов А.В. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение §4; п.31; с.44
Козлова С.А. "Геометрия 7-9 класс"; ©Баласс §9.6; теор.30; с.129