Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольник равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.


Доказательство

Пусть в треугольнике ABC AB=c, BC=a, CA=b. Докажем, например, что

a2=b2+c2-2bc·cos A.

Введем систему координат с началом в точке A так, как показано на рисунке. Тогда точка B будет иметь координаты (c; 0), а точка C-координаты (b·cos A; b·sin A). По формуле расстояния между двумя точками получаем:

BC2=a2=(b·cos A-c)2+b2·sin2 A=
=b2·cos2 A+b2·sin2 A-2bc·cos A+c2=
=b2+c2-2bc·cos A.

Теорема доказана.


Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике ABC угол A прямой, то cos A=cos 90°=0 и по теореме косинусов получаем: a2+b2=c2, т.е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Атанасян Л.С. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение Глава 11; §2; п.102; с.253
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 9 класс; Глава 1; §2; теор. 2.1; с.12
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 8 класс; Глава 6; §17; п.74; с.98
Шарыгин И.Ф. "Геометрия 7-9 класс"; ©Дрофа Глава 7; п.7.2; теор. 7.6; с.245
Погорелов А.В. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение §12; п.110; с.172
Козлова С.А. "Геометрия 7-9 класс"; ©Баласс §17.1; теор.71;с.252