Теорема Чевы

Если на сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты соответственно точки C1, A1, B1, то отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

AB1B1C×CA1A1B×BC1C1A=1


Доказательство

Такие отрезки, как AA1 называются чевианами.
Докажем сначала необходимое условие конкурентности: если чевианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке, то выполняется равенство.

AC1C1B=SADCSBDC, BA1A1C=SABDSADC, CB1B1A=SBDCSABD

Перемножив эти равенства, придем к равенству из условия.
Теперь докажем достаточное условие конкурентности: если выполняется изначальное равенство, то чевианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
Пусть чевианы AA1 и BB1 пересекаются в точке D, а чевиана, проходящая через вершину C и D, пересекает сторону AB в некоторой точке C2. Из доказанного выше можно записать:

AC2C2B×BA1A1C×CB1B1A=1

Сопоставляя это равенство с исходным, приходим к выводу, что AC1C1B=AC2C2B, т.е. точки C1 и C1 делят отрезок AB в одном и том же отношении, а значит, эти точки совпадают. Следовательно, прямая CD пересекат сторону AB в точке C1
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 8 класс; Глава 4; с.164