Теорема о квадрате биссектрисы внутреннего угла треугольника

Квадрат биссектрисы треугольника равен разности произведения длин сторон, её заключающих, и произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой.


Доказательство

Докажем, что BK2=AB•BC-AK•KC.
1) Пусть M - точка пересечения продолжения биссектрисы BK. Тогда треугольники BKC и ABM подобны по двум углам (∠ABK=∠KBC, ∠BCK=∠AMB, так как эти углы опираются на одну и ту же дугу AB).
2) Отсюда , BK•BM=AB•BC, но BM=BK+KM, тогда BK•(BK+KM)=AB•BC, BK2=AB•BC-BK•KM. Но по теореме об отрезках пересекающихся хорд BK•KM=AK•KC.
Из п.2 BK2=AB•BC-AK•KC.
Теорема доказана.